Théorie des types logiques par Eric Duyckaerts

A plusieurs reprises, Gregory Bateson indique que le double bind est une infraction à la théorie des types logiques, inventée par Bertrand Russell. Il me semblait souhaitable d'essayer de donner une idée de cette théorie des types logiques, et je l'ai fait historiquement.

Autour de l'année 1900, la théorie des ensembles connaît quelques problèmes.
Il s'agit de la théorie des ensembles qu'on appelle aujourd'hui « naïve » ou « cantorienne ». (C'est la même théorie qu'on enseigne au collège ou au lycée avec des 'patatoïdes' et tout ce qui s'ensuit.)
Les problèmes en question sont appelés des paradoxes. Ce mot, dans ce contexte, désigne ce qu'on appellerait plus généralement des contradictions.
Quand une théorie mathématique (la théorie des ensembles) rencontre une contradiction (les paradoxes), ça met tout par terre : problème. La théorie des types logiques de Russell donne une solution à ce problème. Gregory Bateson pense que cette solution a une portée beaucoup plus large que les mathématiques. Il l'étend à la plupart des domaines qu'il a étudiés.

Lors de notre réunion, j'ai évoqué les paradoxes en question avec des exemples que je croyais assez parlants et moins compliqués que le paradoxe de Russell (paradoxe de « l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes »).

Paradoxe de l'Imprédicable :
Certains termes – tels « abstrait », « mot », « significatif » – paraissent tolérer l'auto-prédication ; d'autres – tels « concret », « carré », « absent » – la refusent. Le mot « mot » est un mot, le mot « carré » n'est pas un carré. Appelons prédicables les termes du premier groupe qui tolèrent l'auto-prédication, imprédicables les autres et considérons la dichotomie comme exhaustive. Rien là, apparemment, que de très normal. Mais le terme « imprédicable » lui-même, dans quelle catégorie le rangerons-nous ? Si « imprédicable » est imprédicable, en tolérant l'auto-prédication il devient, par définition, prédicable. Admettre, au contraire, qu'« imprédicable » est prédicable c'est lui accorder l'auto-prédicabilité et s'obliger à conclure qu'« imprédicable » est imprédicable. S'il est imprédicable, il devient prédicable et s'il est prédicable il devient imprédicable.

Paradoxe de Russell :
Si l'on divise la totalité des ensembles en ensembles qui se contiennent et ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme éléments, et si l'on tient la bipartition pour exhaustive, on ne saura jamais auquel de ces deux ensembles appartient l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme éléments : l'une quelconque des branches de l'alternative entraîne, aussitôt, son opposée.

Paradoxe du menteur :
Si le choix n'est laissé qu'entre mentir et dire vrai, celui qui affirme que chacune des propositions qu'il énonce est mensongère dit-il vrai ou ment-il ? La réflexion paraît ici condamnée à faire alterner vérité et mensonge indéfiniment.

Tous ces raisonnements opèrent sur des totalités d'une nature assez particulière. Chacune de ces totalités en effet – celle des imprédicables, celle des ensembles qui ne sont pas membres d'eux-mêmes, celle des propositions énoncées par tel individu – semble ne pouvoir s'achever que par l'inclusion d'un élément qui la présuppose. Tous ces raisonnements paradoxaux font intervenir quelque totalité, quelque collection dont un élément au moins s'y trouve introduit avec le secours d'un véritable cercle vicieux.

Bertrand Russell écrit : « ce qui présuppose le tout d'une collection ne peut être l'un des éléments de cette collection ». Réciproquement : « Une collection qui comprendrait des membres définissables seulement à l'aide de la totalité qu'elle constitue, ne constitue pas réellement une totalité ». Principia , I, p. 37.

Collection, totalité, ensemble, classe sont ici synonymes. On pourrait aussi parler de regroupements.
L'idée principale de la hiérarchie des types logiques est celle de la hiérarchie. Pour faire une collection, il faut d'abord des éléments épars. Type 0 : les éléments épars. Type 1 : leur regroupement. Type 2 : le regroupement de regroupements. Type 3 : le regroupement de regroupements de regroupements. Etc. La théorie des types a été fabriquée pour éviter les paradoxes dont j'ai parlé plus haut. On peut légitimement s'interroger sur le choix du mot « type ».

Quoi qu'il en soit, on peut respecter la tradition, et voir comment ça marche.
« Je mens » est de type 0.
« Tout ce que je dis » est de type 1.
« Tout ce que je dis est mensonger » est une infraction à la hiérarchie des types logiques.
La phrase « Je mens » est un des éléments épars de mon discours (type 0).
La phrase « Tout ce que je dis » est un regroupement de tout ce que je dis (type 1).
La phrase « Tout ce que je dis est mensonger » mélange les types 0 et 1.

Gregory Bateson pensait que la hiérarchie des types logiques était inscrite dans la nature. Par exemple, il considérait que l'évolution des espèces y était soumise. Cependant, comme pour le Double Bind, il défendait l'idée que les infractions à la théorie des types pouvait être source d'évolution.
À un auteur qui l'accusait de faire des raisonnements vicieux du genre :
« Tous les hommes sont mortels,
Les herbes sont mortelles,
donc les hommes sont des herbes. » il répondait que c'était le cas, en effet. Selon lui, il arrive parfois que la nature évolue sur ce mode illogique.